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第二宇宙速度从数学及物理学进行推导

作者:佚名    文章来源:本站原创    点击数:    更新时间:2020-04-25

第二宇宙速度(逃逸速度),即在地球附近而能离开地球的速度。第二宇宙速度从数学及物理学进行推导

1、热身
先看一个简单的问题: 地面上有一个质量为m的物体,以初速度V0竖直向上抛出,它能上升多高?

 

很明显,由于物体一直受到重力的作用,而且重力与其运动方向相反,重力是阻止物体向上运动的,重力对物体做负功,或者说,物体要克服重力做功:
W=mgh。

如果物体没有初速度,也就没有动能,是无法克服重力做功的,就是说,物体自己是不会跳起来的!必须别人推它获得初速度,也就有初动能:
 

在物体上升的过程中,物体由于要克服重力做功,本身的动能会越来越小,重力势能会越来越大,直到动能耗尽,Ek(top)=0,全部转化为势能为止,达到最高点,此时:
Ek=0
Ep=mgh (重力势能)
这个重力势能就是初始动能转化来的:
 

由此可以算出物体能达到的最大高度:
 
热身运动到此结束。

2、石头能不能扔出地球

回到上面的问题,物体在耗尽了动能之后,不会呆在最高点不动,马上就会掉下来!
为什么?
因为地球还对它有引力,也就是重力,会把它拉回地面,掉下来。不过你力气越大,扔得越高,直到看不见,不过要小心,它还是会砸下来的。
所以,我们用手是不能把一块石头扔上天的!

一定要把它扔上天,那就只好用火箭发射了。好在现在火箭越来越牛。
那么扔上天是什么意思?
就是不再掉下来,而且,再也不回地球了,去太阳系遨游,升级为太阳的人造卫星!

怎么可能?地球不是一直吸引它吗?当它动能耗尽,不是还会拉回来吗?
呵呵,不会。
因为,我们一直生活在地球,被重力吓怕了,其实,有一个重要的细节我们忽略了,那就是,重力并不是不变的,而是随着距离的增加猛减的。
这个,老牛同志(牛顿)早就说过了,重力不过是万有引力的一种而已:
 
万有引力定律说明,随着距离的增加,引力按距离的平方减少,也就是说,如果我们能把石头扔到无穷远的话,地球的引力就无穷小了,可以不计。
所以,理论上,是可以扔出去的!
那么怎么计算要多大的速度呢?
那我们就要算出从地面到无穷远重力做了多少功。
那还不容易:
W=mgh∞
苦也!这个功是无穷大!那就意谓着要无穷大的速度,无穷大的力!

错!

3、远大的目光
既然是扔到天上去,我们就得站在天上看问题,再也不能在地球上思考了。
 
现在,我们站在天上看地球,就是个小球而已。没什么大不了的。
这时要注意了,我们站在地面思考问题时,总是把重力简化为G=mg,这个公式,只适合地面。

实际上它是随距离变化的,所以上面的公式中是不能用mg代表所有点的重力的。上面的o,a,b,c……每个点受到的重力都是不同的。
怎么办?
没办法,只好把距离切割为无数个小段了。

4、分割法
在地面取一点o,(参看上图)
它到地心的距离是Ro,就是地球的半径。
再依次取a点到地心距离为Ra
b点到地心距离为Rb
c点到地心距离为Rc
无穷远点到地心距离为R∞
要把石头扔到无穷远,那就要依次经过o-a,a-b,b-c……R(∞-1)-R∞
那么总的功应该是:
W总=Woa+Wab+Wbc+……+WR_(∞-1) R∞
可是Woa怎么算?
从o到a引力也是连续变化的。
不管它,先算出各点的引力再说:
 
 
那取o点的呢还是a点呢,取谁另一方都不答应。
没办法,折中!取个大家都没意见的。
由于
 
那我们就用 代表从o到a这一段的引力吧。
这样:
 
同理:
 

……以下省略无穷多个公式
 
变型为:
 
从地面到无穷远,重力做的总功为:
 

如果石头的初动能等于这个功,就能扔出地球了,大功告成!要是大于这个功,就飞得更远啰:
 

G为万有引力常数,M为地球质量,R0为地球半径,代入公式可得:
V0=11.2km/s
累死我了!
你要是学了微积分,我就没这么累了。一积分就出来。

5、微积分分析,基于机械能守恒进行计算
W=FR
微分:
dW=FdR
 

积分:
 

Tags:第二宇宙速度,推导,力学,数学  
责任编辑:admin
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