牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。

基本信息
中文名称：牛顿-莱布尼茨公式

别称：牛莱法则

提出者：牛顿和莱布尼

 应用学科：数学

基本简介
若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在[a,b]上可积，则

这即为牛顿-莱布尼茨公式。

理解:

比如路程公式: 距离s=速度v*时间t，即s=v*t，那么如果t是从时间a开始计算到时间b为止，t=b-a，而如果v不能在这个时间段内保持均速，那么上面的这个公式(s=v*t，t=b-a)就不能和谐的得到正确结果，于是引出了定积分的概念。

公式应用
那么如何在用积分得到上述路程公式呢?

 
公式

这个公式能表明路程s是每个不同速度时候行驶的时间和当前速度乘积的和。

牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。下面就是该公式的证明全过程:

对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为:

b∫a*f(x)dx

现在我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数:

Φ(x)= x∫a*f(x)dx

但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了:

Φ(x)= x∫a*f(t)dt

研究这个函数Φ(x)的性质: 1、定义函数Φ(x)= x(上限)∫a(下限)f(t)dt，则Φ 与格林公式和高斯公式的联系

'(x)=f(x)。

公式证明
证明:让函数Φ(x)获得增量Δx，则对应的函数增量

ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt

显然，x+Δx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt=x+Δx(上限)∫x(下限)f(t)dt

而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x(下限)f(t)dt=f(ξ)·Δx(ξ在x与x+Δx之间，可由定积分中的中值定理推得，

也可自己画个图，几何意义是非常清楚的。)

当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x)，故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x)

可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ'(x)=f(x)。

2、b(上限)∫a(下限)f(x)dx=F(b)-F(a)，F(x)是f(x)的原函数。

证明:我们已证得Φ'(x)=f(x)，故Φ(x)+C=F(x)

但Φ(a)=0(积分区间变为[a,a]，故面积为0)，所以F(a)=C

于是有Φ(x)+F(a)=F(x)，当x=b时，Φ(b)=F(b)-F(a),

而Φ(b)=b(上限)∫a(下限)f(t)dt，所以b(上限)∫a(下限)f(t)dt=F(b)-F(a)

把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。

高阶导数莱布尼兹公式

(uv)^(n)=∑(n，k=0) C(k,n) * u^(n-k) * v^(k)

注:

C(k,n)=n!/(k!(n-k)!)

^代表后面括号及其中内容为上标，求xx阶导数